IF&PA за 20 минут

1 · Задача

Одну величину измерили шесть раз. Какое значение принять?

Каждый результат — интервал «значение ± неопределённость». Пять согласуются друг с другом. Шестой далеко — и заявляет самую маленькую неопределённость. Ошибся он или остальные?

Так выглядят межлабораторные сличения, показания датчиков, результаты разных методов.

2 · Почему не усреднить

Среднее и взвешенное среднее тянутся к выбросу

Взвешенное среднее — стандарт метрологии: вес результата 1/u². Узкий интервал получает огромный вес. Попробуйте: потяните за край интервал I₆ и сделайте его ещё уже — следите за пунктирными линиями.

Чем увереннее ошибочный результат, тем сильнее он тянет взвешенное среднее. Нужен способ, в котором уверенность не даёт власти.

3 · Идея

Устроить голосование

Теория социального выбора изучает, как из многих мнений получить одно. Семь избирателей ранжируют трёх кандидатов. Разные правила подсчёта дают разных победителей — посмотрите, какие.

4 · Парадокс Кондорсе

Коллективное мнение может быть противоречивым

Каждый из трёх экспертов рассуждает последовательно, но вместе они предпочитают a₁ — a₂, a₂ — a₃, а a₃ — снова a₁. Граф парных побед замыкается в цикл. Правило Кондорсе здесь не находит победителя.

5 · Правило Кемени

Выбрать порядок, ближайший ко всем мнениям

Правило Кемени перебирает все строгие порядки и выбирает ближайшие к профилю. Гистограмма показывает расстояния всех 120 порядков для пяти зон микроклимата: минимум достигается сразу у двух — это множественность решений.

6 · Интервал — это мнение

Интервал голосует за значения, которые накрывает

Разобьём ось на дискретные значения — это «кандидаты». Интервал предпочитает значения внутри себя значениям снаружи. Такое ранжирование называют инранжированием. Попробуйте: сдвиньте интервалы и посмотрите, как меняются их «бюллетени» — строки матрицы.

7 · Алгоритм по шагам

Шесть шагов метода IF&PA

Нажимайте «Далее» и следите, как из интервалов появляется результат. На любом шаге интервалы можно двигать.

8 · Главное свойство

Один интервал — один голос

Межлабораторное сличение (учебный пример из калькулятора). Лаборатория L7 ошиблась и заявила самую малую неопределённость. Попробуйте: сделайте L7 ещё уже или уведите дальше — ПМ не сдвинется, а взвешенное среднее уйдёт за ней.

9 · Норма разбиения

Результат зависит от нормы разбиения — и не монотонно

ПМ — одно из дискретных значений (или середина между ними), поэтому при изменении числа значений n результат смещается скачками в пределах нормы h. Попробуйте: двигайте ползунок n. Отсюда составляющая неопределённости, пропорциональная h, и идея самоуточнения — сделать разбиение мельче вокруг найденного результата.

10 · Когда метод полезен

Честные данные против уверенных выбросов

Браузер генерирует по 200 наборов данных в двух ситуациях и сравнивает ошибки десяти оценок. Чем короче полоса, тем точнее оценка. Преференциальная медиана выделена.

На честных данных лучше взвешенное среднее — оно использует точность каждого результата. Когда уверенные результаты ошибаются, ПМ выигрывает. Задать свои условия →

11 · Где применяется

От постоянной Планка до сварных швов

12 · Норма из истории

IF&PA оценивает норму трудоёмкости

Норма b — сколько смен уходит на единицу объёма работы. По истории её находят из отношений T_k/V_k — фактической длительности к выполненному объёму. Обычно отношения кучные, но задержки — непогода, простои, ожидание материалов — дают редкие большие значения, и всегда в одну сторону. Каждое наблюдение становится интервалом, и норму выбирает голосование. Попробуйте: уведите задержки ещё дальше — среднее растёт, ПМ остаётся у типичных значений.

Завышенная средним норма — это лишние месяцы в плане, заниженная — сорванные сроки. Дальше — как норма превращается в расписание.

13 · Задача о рюкзаке

Месяц — это рюкзак

Вместимость рюкзака — мощность месяца R в бригадо-сменах. Предметы — захватки, части работ на участках трассы. Захватка j требует r_j = b_j·V_j смен — норма её работы, умноженная на объём, — и даёт объём V_j. Нужно выбрать захватки так, чтобы они поместились, а выполненный объём был наибольшим. Попробуйте сами, потом сравните с оптимумом и с жадным выбором.

Это классическая задача о рюкзаке: Σ r_jx_j ≤ R, где x_j = 1, если захватка взята. Она NP-трудна — перебор растёт экспоненциально с числом предметов, — но задачи практического размера решают точно методом ветвей и границ.

14 · Многомерный рюкзак

Мощностей несколько — помещаться нужно по всем

У месяца не одна мощность: бригады, техника, материалы. Захватка расходует каждую, и для каждого типа ресурса l должно выполняться Σ r_j^lx_j ≤ R^l. Это многомерный рюкзак. Попробуйте: набор, который помещался по бригадам, теперь может не пройти по технике.

«Выгодность» захватки зависит от того, какой ресурс дефицитен, поэтому простые жадные правила ошибаются здесь чаще, чем в одномерной задаче.

15 · Расписание

Проект — цепочка месяцев-рюкзаков

Каждый месяц t — рюкзак мощностью R; решение x_jt = 1 ставит захватку j в месяц t. Порядок сохраняется: земляные работы на участке — не раньше расчистки, монтаж — не раньше земляных. Норма зависит от месяца: зимой расчистка и монтаж идут в полтора раза дольше, земляные работы — вдвое. Наименьший срок H находят, увеличивая H до первого выполнимого плана. Попробуйте: задайте ошибку норм — план строится по ошибочным нормам, а исполняется по истинным.

Заниженные нормы дают короткий план, который не выполнить; завышенные — лишние месяцы. Поэтому норма должна быть точной и несмещённой — ради этого и нужна устойчивая оценка. Полная модель с несколькими ресурсами и точным решателем — в Планировщике.

16 · Проверь себя

Шесть вопросов

17 · Что дальше

Теперь — на своих данных